Szakadási felületek és lökéshullámok

Mint a 8. fejezetben láttuk, a nem lineáris jelenségek hatására a hanghullámok frontja meredekebbé válik. Még érdekesebb - és nehezebben modellezhetõ - jelenség a lökéshullám, mely az Euler egyenletek egy nem folytonos, szakadási felülettel rendelkezõ úgynevezett gyenge megoldása. A lökéshullámok a valóságban persze véges vastagságúak: a gázt alkotó részecskék átlagos szabad úthossza adja meg a vastagságot. Matematikailag ezt a viszkózus tagok bevezetésével lehet modellezni, ami az Euler egyenletektõl a Navier-Stokes egyenletekhez vezet. Gyakran azonban nem vagyunk kíváncsiak a lökéshullámfront szerkezetére, csupán az általa okozott sûrûség-, nyomás- és sebességváltozás érdekel minket. A molekulák szabad úthossza általában sok nagyságrenddel kisebb, mint a problémában szereplõ egyéb távolságok, és így általában jóval kisebb, mint a diszkretizációban használt $\Delta x$ rácsállandó.

A diszkretizált problémában tehát a lökéshullámot mint szakadási felületet próbáljuk meg leírni, ami az Euler egyenletek nem folytonos gyenge megoldásához konvergál. A gyenge megoldás matematikai definíciója a következõ: a differenciálegyenletet kiintegráljuk egy tetszõleges véges térfogatra, a térfogati integrálokat felületi integrállá alakítjuk át, és a gyenge megoldás ennek az integrálegyenletnek a megoldása a választott térfogattól függetlenül. Ha megnézzük az (1) és (2) egyenleteket, azt látjuk, hogy a fizikai levezetés éppen az ellenkezõ irányban haladt: a (felületi) integrálegyenletet írtuk át parciális differenciál egyenletre. Tehát nemcsak matematikailag szükséges, de fizikailag is természetes hogy a PDE helyett az integrálegyenletet diszkretizáljuk.

Ábra 4.: Véges térfogat módszer.

Az integrálegyenleteken alapuló diszkretizálást véges térfogat módszernek nevezzük. Az eddigi interpretációban $\rho_j$ a sûrûségnek az $x_j$ koordinátájú rácspontban felvett értékét jelölte. A véges térfogat módszer esetében a teret rács cellákra bontjuk, melyek térfogata $V_j$, középpontja pedig az $x_j$ pontban helyezkedik el és

$$\rho^n_j = \frac{1}{V_j} \int_{V_j} \rho(x,t_n) d^3x$$ (52)

a sûrûség térfogatra vett átlagértéke. Az (1) kontinuitási egyenletet egy dimenzióban véges térfogat módszerrel

$$\rho^{n+1}_j = \rho^n_j + \frac{1}{\Delta x} \left[(\rho v)^n_{j+1/2} - (\rho v)^n_{j-1/2}\right]$$ (53)

formában írhatjuk. Itt $(\rho v)_{j+1/2}$ az $(x_j+x_{j+1/2})/2$-nél található határfelületen áthaladó tömegfluxus valamilyen numerikus közelítése. Több dimenzióban az oldalakra vett körintegrált kell numerikusan kiszámítani.

Eddig szinte minden elméleti megfontolást, így a konzisztencia vizsgálatot és a megoldás rendjének kiszámítását is arra a feltevésre alapoztnk, hogy az analitikus megoldás folytonos és többszörösen differenciálható. A gyenge megoldások esetében azonban a Taylor sorba fejtés nem mûködik. A Lax-Wendroff tétel kimondja, hogy a megmaradási tételeket numerikusan is teljesítõ stabil diszkretizáció egy érvényes gyenge megoldáshoz konvergál a rács finomításával. Például a tömegmegmaradási tétel numerikus formában

$$\sum_j \rho^{n+1}_j=\sum_j \rho^n_j - \frac{\Delta t}{\Delta x} \left[(\rho v)^n_{N+1/2} - (\rho v)^n_{1/2}\right]$$ (54)

ahol a jobb oldalon a második tag a határokon ki- és beáramló fluxusok hatását írja le. Nyilvánvaló, hogy a véges térfogat módszerrel diszkretizált egyenletek a megmaradási tételt numerikus formában is teljesítik, hiszen ha az (53) egyenleteket felösszegezzük az összes rácspontra, akkor éppen az (54) egyenletet kapjuk.

Egy PDE-nek számos gyenge megoldása létezhet, de ezek közül csak azokat tekintjük fizikai megoldásnak, melyek a valóságos folytonos megoldás határértékének tekinthetõk. Gázdinamika esetében a Navier-Stokes egyenletek folytonos megoldásának a nullához tartó viszkozitással vett határértékeként kapott nem folytonos megoldásokat tekintjük fizikainak. Megmutatható, hogy ezekben a megoldásokban az entrópia idõben növekszik. A numerikus diszkretizációnak tehát nem elég érvényes gyenge megoldást adnia, az is szükséges, hogy a megoldás kielégítse az entrópianövekedés elvét is. Ezt meglehetõsen nehéz bizonyítani, de egyes megoldási módszerekre sikerült megmutatni, hogy eleget tesznek ennek a feltételnek is.

A Lax-Wendroff tétel nem nyilatkozik a konvergencia exponensrõl, de egyszerû megfontolásokkal megsejthetõ az eredmény. Mivel a szakadási felületet mindig véges számú rácspont ábrázolja, ezekben a pontokban a hiba nem csökken a rácstávolság csökkenésével. Konvergenciáról csak abban az értelemben beszélhetünk, hogy ezek a rácspontok a fizikai térben egyre kisebb és kisebb tartományban helyezkednek el, azaz az átlagos hiba nagyjából a rácspontok számával fordított arányban csökken. Más szóval a konvergencia exponens a diszkretizáció folytonos megoldásokra vonatkozó rendjétõl függetlenül legfeljebb 1 lesz.

Az alábbi feladatban a

$$p(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 100. & \mbox{ha $60 < x\le$140}\\ 1.0 & \mbox{egy\'ebk\'ent} \end{array}\right.$$ (55)

képlettel definiált nyomáseloszlás hatására létrejövõ áramlást tanulmányozzuk egy kezdetben konstans $\rho=1$ sûrûségû és $v=0$ sebességû gázban. Az adiabatikus index $\gamma=5/3$.

Az ilyen lépcsõfüggvénnyel leírható kezdeti feltételt Riemann problémának nevezzük. Ez analitikusan általában ugyan nem oldható meg, de a megoldás számos tulajdonságát meg lehet jósolni. A hatalmas nyomáskülönbség hatására mindkét irányban egy-egy lökéshullám indul el $v>c$ sebességgel, ahol $c$ a külsõ közeg hangsebessége. A lökéshullámok mögött fellép egy-egy kontakt diszkontinuitás, ami egy nem folytonos entrópiahullám, valamint egy folytonsos tágulási hullám, ami önhasonlóan tágul. A lökéshullámon keresztül ugrást szenved a sûrûség, a sebesség, a nyomás, és még az entrópia is. A kontakt diszkontinuitásnál csak a sûrûség és az entrópia változik, a nyomás és a sebesség állandó. A tágulási hullámban a sebesség, sûrûség és nyomás folytonosan változnak, de az entrópia konstans marad.