Nem lineáris egyenletrendszer

Mindeddig a meglehetõsen triviális kontinuitási egyenlettel foglalkoztunk. Térjünk most át az összenyomható ideális gázok dinamikáját leíró Euler egyenletekre. A kontinuitási egyenletet a $\rho \mathbf{v}$ momentum és az $e$ energia sûrûségek megmaradási egyenletei egészítik ki:

$$\partial_t \rho+\mbox{div}(\mathbf{v}\rho) = 0$$ (32)

$$\partial_t(\rho\mathbf{v})+\mbox{div}(\mathbf{v}\rho\mathbf{v})+\mbox{grad}p = 0$$ (33)

$$\partial_t e+\mbox{div}(\mathbf{v}e+\mathbf{v}p) = 0$$ (34)

Mint látható, a momentum a konvekción túl a nyomás gradiensétõl változik, ami a kinetikus energiára is hat a $\mbox{div}(\mathbf{v}p)$ taggal. Itt a teljes energia sûrûséget a hõenergia és a kinetikus energiasûrûségek összege adja

$$e = \frac{1}{\gamma-1}p + \frac12 \rho \mathbf{v}^2$$ (35)

ahol $\gamma=c_p/c_v$ a nyomás és térfogat szerinti fajhõk hányadosa, más néven, az adiabatikus index. Az elsõ tag a $c_p-c_v=1$ termodinamikai összefüggés alapján átirható a szokásosabb $c_v p = c_v n k T$ alakra. Egyatomos gázokra $\gamma=5/3$, kétatomos gázok esetén $\gamma=7/5$. A (35) egyenletbõl a $p$ nyomás kifejezhetõ $\rho$, $\rho v$ és $e$ függvényében, és ezzel az Euler egyenleteket zárttá tettük.

Az Euler egyenletek hiperbolikus, nem lineáris PDE rendszert alkotnak. Ezek megoldására a konvekciós egyenletnél bevált módszerek valamennyien alkalmazhatóak. Újdonság azonban, hogy az információ most már két különbözõ módon is terjedhet: hang illetve entrópia hullámként. A hanghullám sebességét a $\rho_0$ konstans sûrûség, $p_0$ nyomás, és $v_0=0$ sebesség értékek körül linearizált egy dimenziós Euler egyenlet rendszerbõl lehet meghatározni. Az eredmény két hullám megoldás, melyek sebességének abszolútértéke

$$c=\sqrt{\gamma\frac{p_0}{\rho_0}}$$ (36)

a hangsebesség. Mozgó közegben a hanghullám $v+c$ illetve $v-c$ sebességgel terjed.

Az entrópiahullám lényegében a konvekciós egyenletben megismert sûrûséghullámmal egyezik meg. Ha a nyomás és a sebesség konstans, akkor a sûrûség perturbáció $v$ sebességgel terjed. Az entrópiahullám onnan kapta a nevét, hogy az

$$s=\frac{p}{\rho^\gamma}$$ (37)

entrópia sûrûség perturbációjával jár, ellentétben a hanghullámmal, melyben az entrópia konstans. Megjegyezzük, hogy a statisztikus fizikában az entrópia sûrûséget $s$ logaritmusaként szokás definiálni.

Explicit módszerekre és hiperbolikus egyenletekre érvényes a Courant-Friedrich-Levy (CFL) stabilitási feltétel, mely azt mondja ki, hogy egy adott rácspontból a fizikai információ egy idõlépés alatt nem terjedhet távolabbra, mint a diszkrét módszer által figyelembe vett rácspontok által meghatározott tartomány. Ezt az általános stabilitási kritériumot a konvekciós egyenletre és az upwind módszerre vonatkozóan a (12) egyenletben definiált Courant szám és a (13) stabilitási kritérium formájában már levezettük. Az Euler egyenletek esetében a $c+\vert v\vert$ sebességû hanghullám terjed a leggyorsabban, így a CFL feltétel a

$$C=(c+\vert v\vert)\frac{\Delta t}{\Delta x}$$ (38)

általánosított Courant számra vonatkozik. A legtöbb explicit módszer esetén $C$-nek 1-nél kisebbnek kell lennie. Mivel $c+\vert v\vert$ értékét nem ismerjük elõre, a $\Delta t$ idõlépés értéket dinamikusan, azaz idõlépésenként érdemes kiszámítani:

$$\Delta t_n = C \min_j \frac{\Delta x}{c_j^n+\vert v_j^n\vert}$$ (39)

ahol a minimumot a $j=1\ldots N$ rácspontokra vesszük, és $C$ egy futtatási paraméterként megadott konstans, például $C=0.9$.

Az alábbi feladatban véges amplitúdójú hanghullámok terjedését fogjuk modellezni. A kezdeti feltétel legyen egy

$$\rho(x)=p(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1+0.3\sin [0.1 \pi ... ...0\le x\le20$}\\ 1 & \mbox{egy\'ebk\'ent} \end{array}\right.$$ (40)

képlettel definiált félszinuszhullám alakú izotermális perturbáció az $1<x<50$ tartományban. Kezdetben a sebesség $v=0$ mindenhol, az adiabatikus index pedig $\gamma=1.4$. Legyenek a határfeltételek periodikusak.

Ellentétben a konvekciós egyenlettel, itt nem tudjuk az egzakt analitikus megoldást, azonban néhány fizikai megfontolás nagy mértékben megkönnyíti a numerikus eredmények kiértékelését. A nyomás perturbáció két balra és jobbra haladó hanghullámot kelt. Ezek közelítõleg $c=\sqrt{1.4}=1.18$ sebességgel fognak terjedni. Mivel a hullámok amplitúdója nem elhanyagolhatóan kicsi, nem lineáris jelenségek fellépésére is számítani kell, azaz a hullám profilja fokozatosan eltorzul. A kezdeti feltétel izotermikus, azonban entrópiája nem konstans, tehát egy entrópia hullámra is számíthatunk, ami $v=0$ miatt helyben fog maradni.