Konvergencia

Az eddigiekben a numerikus stabilitással és a diszkretizáció rendjével kapcsolatban végeztünk vizsgálatokat. Valójában azonban a számítógépes modellezés célja a konvergencia, azaz hogy a numerikus megoldás konvergáljon az analitikus megoldáshoz, ha egyre finomabb rácsállandót és idõlépést használunk. Fontos megjegyezni, hogy amikor a diszkretizáció rendjét számítjuk ki (lásd a 6. fejezetet) akkor a hibát úgy becsültük meg, hogy az analitikus megoldást behelyettesítettük a diszkrét egyenletbe. A konvergenciánál viszont a numerikus megoldást ,,helyettesítjük be'' a differenciál egyenletbe, pontosabban szólva, a numerikus megoldást az analitikus megoldással hasonlítjuk össze. Mint azt a 4 fejezetben láttuk, az FTCS diszkretizáció ugyan térben másod és idõben elsõ rendû, de ebbõl még nem következik, hogy az analitikus megoldáshoz konvergál, sõt, mint azt megmutattuk, egyáltalán nem konvergál semmihez, mert feltétel nélkül instabil.

Szerencsére lineáris kezdeti érték problémákra érvényes Lax ekvivalencia tétele, ami kimondja, hogy ha egy diszkretizáció konzisztens és stabil, akkor a numerikus megoldás az analitikus megoldáshoz konvergál a tér és idõbeli diszkretizáció finomításával. A kontinuitási egyenlet lineáris, és a periodikus határfeltételek mellett lényegében kezdetiérték problémának tekinthetõ.

A gyakorlatban felmerülõ problémák többsége azonban nem lineáris, és a határfeltételek sem feltétlenül periodikusak. Ezekben az esetekben az elmélet nem ad biztos támpontot a konvergencia feltételeirõl. A gyakorlatban a következõ lépéseket szokás követni:

1.

Egyszerû problémákon meggyõzõdünk arról, hogy a diszkretizáció és annak implementációja (beprogramozott megvalósítása) konzisztens a PDE-vel.

2.

A valódi problémát legalább három különbözõ rácsfelbontással megoldjuk, és megvizsgáljuk a numerikus konvergenciát.

Amikor az analitikus megoldás ismert, a hibát a $\rho^a$ analitikus megoldáshoz képest az

$$E_1 = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \vert\rho^n_j - \rho^{a}\vert$$ (27)

úgynevezett 1-es normában, vagy az

$$E_2 = \left[\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N (\rho^n_j - \rho^{a})^2\right]^{1/2}$$ (28)

2-es normában szokás mérni.

Amikor nem ismert az analitikus megoldás, akkor legalább háromféle felbontásra van szükség, ugyanis két numerikus megoldás közötti eltérés nagyságából nem lehet következtetni konvergenciára. Ha a három megoldást $D$ (durva), $K$ (közepes) és $F$ (finom) betûkkel jelöljük, akkor a következõ eltéréseket kell kiszámítani

$$E^2_{KD} = \frac{1}{N_D}\sum_{j=1}^{N_D} (\rho^K_j - \rho^D_j)^2$$ (29)

$$E^2_{FK} = \frac{1}{N_D}\sum_{j=1}^{N_D} (\rho^F_j - \rho^K_j)^2$$ (30)

ahol az összegzést a legdurvább rács $N_D$ rácspontjaira végezzük el. Tegyük fel, hogy a megoldás $\alpha$ exponenssel konvergál az ismeretlen $\rho^a$ analitikus megoldáshoz minden pontban, azaz

$$\rho_j^{D,K,F}=\rho^a_j + (\Delta x_{D,K,F})^\alpha E_j$$ (31)

ahol $E_j$ a lokális hiba $\Delta x=1$-re. Ha ezt a modellt behelyettesítjük a (29) és (30) egyenletekbe, akkor két egyenletet kapunk az $\alpha$ konvergencia kitevõre, valamint a $\sum_j E^2_j$ globális hibára. A gyakorlatban általában megelégszünk azzal a kvalitatív kritériummal, hogy $E_{FK}$-nak jóval kisebbnek kell lennie mint $E_{KD}$, valamint $E_{FK}$ legyen elegendõen kicsi a változók értékéhez képest.