Explicit és implicit módszerek

Az eddig tárgyalt módszereknél az $n+1$-dik lépéshez tartozó megoldás egyszerûen felírható az $n$-dik lépésbõl, amint azt a (6) és (15) algoritmusok is mutatják. Az ilyen módszereket explicit-nek nevezzük.

Diszkretizáljuk a kontinuitási egyenletet hasonlóan (5)-hez, de most a térbeli deriváltat az $n+1$-dik lépésbõl számítsuk ki! A kapott

$$\frac{\rho_j^{n+1}-\rho_j^n}{\Delta t}+ v\frac{\rho^{n+1}_{j+1}-\rho^{n+1}_{j-1}}{2\Delta x} = 0$$ (16)

diszkretizációt implicitnek nevezzük, ugyanis $\rho^{n+1}$ már csak impliciten, egy egyenletrendszer megoldásaként adott. Jelen esetben egy lineáris egyenletrendszert kaptunk a $\rho^{n+1}_1,\ldots,\rho^{n+1}_N$ ismeretlenekre. Ezt az egyenletrendszert már nem olyan egyszerû megoldani, mint ahogy azt a (6) FTCS módszernél tettük. Egy dimenziós rácson az egyenletrendszer hatékonyan megoldható a Gauss elimináción alapuló Thomas algoritmussal.

Ha elvégezzük a stabilitásvizsgálatot az implicit módszerre, akkor az erõsítési faktorra a

$$G=\frac{1}{1+i C \sin(k\Delta x)}$$ (17)

megoldást kapjuk. Könnyen látható, hogy $\vert G\vert\le 1$ tetszõleges $C$-re, azaz $\Delta t$-re. Az implicit módszer tehát feltétel nélkül stabil.