Diszkretizáció

A számítógép nem tud végtelen sok folytonosan változó mennyiséget kezelni, ezért a numerikus modell szükségszerûen véges sok változóval közelíti meg a valóságot, illetve annak matematikai modelljét. Magukat a változókat általában lebegõpontos valós (esetleg komplex) számok ábrázolják, melyek szintén véges pontosságúak, általában 6$-$12 tizedes jegyet tartalmaznak. Az elsõ közelítést diszkretizációnak nevezzük, mely diszkretizációs hibát okoz. Általában minél több változót használunk a számítógépes modellben, annál kisebb a diszkretizációs hiba. A véges pontosságú számábrázolás okozta kerekítési hiba általában nagyságrendekkel kisebb a diszkretizációs hibánál.

Tekintsük a (2) kontinuitási egyenletet egy térbeli dimenzióban:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = 0$$ (3)

és próbáljuk meg diszkretizálni. Az $x$ tér változót helyettesítsük az $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_N$ diszkrét változókkal, míg az idõt a $t_0$, $t_1$, $\ldots$ változókkal reprezentáljuk. Az egyszerûség kedvéért tekintsünk egy szabályos tér rácsot, azaz $x_j= j \Delta x$, ahol $j=1,\ldots,N$ és $\Delta x$ a rácsállandó, valamint legyen a $\Delta t$ idõlépés is konstans, azaz $t_n=n \Delta t$, ahol $n=0,1,\ldots$. A sûrûséget egy adott $x_j$ rácspontban és $t_n$ idõpillanatban a

$$\rho(x_j,t_n)=\rho^n_j$$ (4)

mennyiség reprezentálja. A felsõ index nem hatványozást jelent, hanem ez a szokásos jelölése az idõ szerinti indexnek. A kontinuitási egyenlet lényegében hiperbolikusan viselkedik, ugyanis egy sûrûségperturbáció véges $v$ sebességgel terjed. Egy hiperbolikus egyenletet az adott kezdeti feltételek, azaz $\rho^0_1\ldots\rho^0_N$ változók ismeretében lehet megoldani. A kezdeti feltételt általában ki kell egészíteni a határfeltételekkel, azaz $\rho^n_1$-t és/vagy $\rho^n_N$-t meg kell adni. Jelen esetben azon az oldalon kell határfeltételt megadni, ahol a $v$ sebesség befelé mutat. Az egyszerûség kedveért legyen $v>0$ térben és idõben konstans.

Miután a változókat diszkretizáltuk, a következõ lépés a (3) parciális differenciálegyenlet átírása ezekre a változókra, azaz az egyenlet diszkretizálása. Ez a lépés egyáltalán nem triviális, hiszen a folytonos PDE-t végtelen sokféleképpen lehet diszkrét algebrai egyenletekkel közelíteni. Ezek a közelítések, azaz diszkretizációk mind más-más pontossággal és stabilitási tulajdonsággal rendelkeznek, illetve különbözõ mennyiségû számítási illetve programozási munkát igényelnek. Tekintsük most az egyik legegyszerûbb diszkretizációt, amit különösebb levezetés nélkül, lényegében intuitív módon fel lehet írni. Közelítsük a $t$ és $x$ szerinti deriváltakat a $t_n$, $x_j$ téridõ pontban egyszerû differenciákkal:

$$\frac{\rho_j^{n+1}-\rho_j^n}{\Delta t}+ v\frac{\rho^n_{j+1}-\rho^n_{j-1}}{2\Delta x} = 0$$ (5)

ahol $j=2,\ldots,N-1$ és $n=1,2,\ldots$. Mint látható az idõderiváltat egy féloldalas, míg a térderiváltat egy szimmetrikus differencia formulával közelítettük. Az idõderivált ilyen felírása célszerûnek látszik, hiszen így a $t_{n+1}$ idõhöz tartozó megoldás közvetlenül kifejezhetõ az $n$-dik lépésbõl:

$$\rho_j^{n+1}=\rho_j^n-v \Delta t \frac{\rho^n_{j+1}-\rho^n_{j-1}} {2\Delta x}$$ (6)

A fenti diszkretizációt FTCS-nek szokás nevezni, ami az angol ,,forward in time centered in space'' (idõben elõre, térben centrális) kifejezésbõl származik.