Die Begründung der modernen Logik

Freges Programm:

Logische Grundlegung der Arithmetik


Freges wissenschaftliches Hauptziel war es, die Mathematik als logisch streng begründete Wissenschaft aufzubauen, denn: "Die festeste Beweisführung ist offenbar die rein logische, welche, von der besonderen Beschaffenheit der Dinge absehend, sich allein auf Gesetze gründet, auf denen alle Erkenntnis beruht." Frege ging es darum, den von Kant verneinten analytischen Charakter der Arithmetik dadurch nachzuweisen, daß die Arithmetik auf Logik zurückgeführt wird, also als Teil der Logik dargestellt wird: "Demnach würde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik, jeder arithmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes sein." Dieses Programm wird gewöhnlich als das der logizistischen Begründung der Mathematik oder als Logizismus bezeichnet. Die konkrete Ausführung des Logizismus umfaßt zwei Teilaspekte, die Freges Schüler Rudolf Carnap folgendermaßen formulierte: "1. die mathematischen Begriffe sind aus den logischen Begriffen ableitbar, und zwar durch explizite Definitionen; 2. die mathematischen Sätze sind aus den logischen Grundsätzen ableitbar, und zwar durch rein logische Deduktionen." Freges Ziel war der Nachweis des analytischen Charakters der Arithmetik, nicht der Mathematik insgesamt, denn die Geometrie hielt er mit Kant durchaus für synthetisch, also nicht auf reine Logik zurückführbar.

Mit seinen drei Hauptwerken Begriffsschrift (1879), Die Grundlagen der Arithmetik (1884) und der zweibändigen Schrift Grundgesetze der Arithmetik (1893/1903) widmet sich Frege der Ausführung des logizistischen Programms der Begründung der Arithmetik auf reiner Logik. Die Grundgesetze der Arithmetik bilden dabei unzweifelhaft den Höhepunkt des Fregeschen Werkes. Zugleich manifestiert sich in den beiden Bänden der Grundgesetze der Arithmetik aber auch die kaum überbietbare Einheit von Triumph und Tragik des wissenschaftlichen Schaffens Gottlob Freges. Vollendung und Scheitern eines bedeutenden Wissenschaftsprogramms liegen wohl in keinem anderen wissenschaftlichen Werk so eng beieinander, wie in Freges Grundgesetzen der Arithmetik: Von Beginn des ersten Bandes bis zur Vollendung des zweiten Bandes der Grundgesetze ist Frege unerschütterlich vom endgültigen Erfolg der von ihm entwickelten logizistischen Grundlegung der Arithmetik überzeugt. Doch noch vor Erscheinen des zweiten Bandes 1903 muß Frege nach einem Brief Bertrand Russells vom 16. Juni 1902, in dem Russell nachweist, daß im Fregeschen System Widersprüche beweisbar sind, schmerzlich erkennen, daß der von ihm selbst immer wieder eindringlich beschworene Unterschied zwischen der Wahrheit und unseren Überzeugungen - und seien sie noch so fest und gut begründet - sich gerade bezüglich seiner eigenen, meisterhaft begründeten Überzeugung manifestiert, in den Grundgesetzen der Arithmetik die Arithmetik unwiderlegbar mit rein logischen Mitteln begründet zu haben. Bereits in den Grundlagen der Arithmetik hatte Frege, wenn auch in informaler Darstellungsform, eine Definition der natürlichen Zahlen auf rein logischer Grundlage geliefert, sich dort aber noch zurückhaltend über den Gesamterfolg seine Projekts zur logischen Begründung der Arithmetik geäußert:

Ich hoffe in dieser Schrift wahrscheinlich gemacht zu haben, daß die arithmetischen Gesetze analytische [rein logisch begründbare] Urteile ... sind.

Mit dem ersten Band der Grundgesetze der Arithmetik ist Frege 1893 endgültig vom Erfolg seiner logizistischen Bemühungen überzeugt, und so verkündet er selbstbewußt im Vorwort die Unübertrefflichkeit und Unüberwindlichkeit seiner logischen Begründung der Mathematik:

Und nur das würde ich als Widerlegung anerkennen können, wenn jemand durch die That zeigte, dass auf andern Grundüberlegungen ein besseres, haltbareres Gebäude errichtet werden könnte, oder wenn mir jemand nachwiese, dass meine Grundsätze zu offensichtlich falschen Folgesätzen führten. Aber das wird Keinem gelingen.

Die Betroffenheit über die Mitteilung Russells, daß gerade dieser Nachweis geführt werden kann, faßt Frege im Nachwort zum zweiten Band 1903 in die Worte:

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.

Die Grundsätze des Systems führten gerade zu den von Frege im Vorwort zum ersten Band der Grundgesetze für ausgeschlossen gehaltenen offensichtlich falschen Folgesätzen. Unzweifelhaft war es für Frege wenig trostvoll, daß diese Widerlegung nicht nur das von ihm aufgebaute System betraf:

Alle, die von Begriffsumfängen, Klassen, Mengen in ihren Beweisen Gebrauch gemacht haben, sind in derselben Lage. Es handelt sich hierbei nicht um meine Begründungsweise im Besonderen, sondern um die Möglichkeit einer logischen Begründung der Arithmetik überhaupt.

Die Begründung der Arithmetik auf rein logischer Grundlage ist Frege nur um den Preis der Widersprüchlichkeit gelungen. Daß eine vollständige formale Begründung der Arithmetik prinzipiell nur zu diesem Preis möglich ist, konnte erst in den 30er Jahren unseres Jahrhunderts durch Kurt Gödel mit seinem berühmten Unvollständigkeitstheorem gezeigt werden. Damit war das Schicksal des Logizismus als wissenschaftliches Programm besiegelt, es war nun auch klar, daß Freges Scheitern in keiner Weise Ausdruck individueller Unfähigkeit oder Unachtsamkeit war, sondern daß die widerspruchsfreie Ausführung des logizistischen Programms prinzipiell unmöglich ist. Kurt Gödel hat mit seinem Theorem mit logisch-mathematischen Mitteln die Grenzen der Leistungsfähigkeit dieser Mittel selbst nachgewiesen und diese Grenzen konnte auch Frege nicht überschreiten.



Freges Leistung:

Begründung der modernen Logik


Es wäre verfehlt, Freges Beitrag zur modernen Wissenschaftsentwicklung nur unter dem Aspekt des Scheiterns seines Begründungsversuches der Arithmetik zu betrachten, ihn womöglich als Scharlatan abzutun, der so, wie andere nach dem Stein des Weisen, dem Perpetuum mobile suchten und suchen, sich einer ähnlich pseudowissenschaftlichen Aufgabe gewidmet hätte, nämlich dem Versuch der rein logischen Begründung der Arithmetik, der Suche nach dem "logischen Stein des Weißen" oder dem "logischen Perpetuum mobile". Frege, wie alle Logiker und Mathematiker vor Gödel, kannte keinen Grund, der seinen Forscher- und Entdeckerdrang gerade davon abhalten sollte, sein logizistisches Programm zu verfolgen. Es ist das Schicksal wissenschaftlicher Forscher und Entdecker, daß Erfolg und Mißerfolg eng beieinander liegen und Entdeckerdrang auch mit dem Risiko des Scheiterns konfrontiert ist. Und häufig sind die erreichten Erfolge nicht die, die ursprünglich angestrebt wurden; sie müssen deshalb aber nicht weniger wertvoll sein.
Auch wenn es Gottlob Frege nicht gelang, die von ihm angestrebte logische Grundlegung der Arithmetik zu liefern, hat er auf dem von ihm begangenen wissenschaftlichen Weg grandiose Leistungen vorzuweisen, wodurch sich auch die eingangs angeführten Wertschätzungen des Werkes Gottlob Freges durch Fachleute ersten internationalen Ranges erklären.

Frege erkannte, daß die formale Logik seiner Zeit für sein Begründungswerk nur ungenügend geeignet war, weil sie die logischen Verhältnisse nur rudimentär und nicht adäquat erfaßte. Er mußte die Logik selbst begründen, auf deren Basis er seine logische Fundierung der Arithmetik liefern wollte. Und er mußte den Aufbau der neuen Logik in einer Weise vollziehen, die der Forderung größter Präzision genügt und außerdem den Bereich des Logischen vollständig erfaßt. Sein Begründungsplan führte ihn also, wie er in seinen Alterserinnerungen in einer Notiz am 26. 7. 1919 selbst schreibt, von der Mathematik zur Logik:

Von der Mathematik ging ich aus. In dieser Wissenschaft schien mir eine dringlichste Aufgabe in einer besseren Grundlegung zu bestehen. Bald erkannte ich, daß die Zahl nicht ein Haufen, eine Reihe von Dingen ist, auch nicht eine Eigenschaft eines Haufens, sondern daß die Zahlangabe, die auf Grund einer Zählung gemacht wird, eine Aussage von einem Begriffe enthält. Bei solchen Untersuchungen war die logische Unvollkommenheit der Sprache hinderlich. Ich suchte Abhilfe in meiner Begriffsschrift. So kam ich von der Mathematik zur Logik.

Die natürliche Sprache war nicht geeignet, diese verlangte Sicherheit, Klarheit und die für die logische Grundlegung der Arithmetik zu fordernde Lückenlosigkeit des Schließens zu gewährleisten:

Damit sich hierbei [bei der Zurückführung von Arithmetik auf Logik] nicht unbemerkt etwas Anschauliches eindrängen könnte, mußte Alles auf die Lückenlosigkeit der Schlußkette ankommen. Indem ich diese Forderung auf das Strengste zu erfüllen trachtete, fand ich ein Hindernis in der Unzulänglichkeit der Sprache, die bei aller entstehenden Schwerfälligkeit des Ausdrucks doch je verwickelter die Beziehungen wurden, desto weniger Genauigkeit erreichen liess, welche mein Zweck verlangte. Aus diesem Bedürfnisse ging der Gedanke der vorliegenden Begriffsschrift hervor. Sie soll also zunächst dazu dienen, die Bündigkeit einer Schlußkette auf die sicherste Weise zu prüfen und jede Voraussetzung, die sich unbemerkt einschleichen will, anzuzeigen, damit letztere auf ihren Ursprung untersucht werden könne.

Schon in seiner Begriffsschrift von 1879 hat Frege ein System der Logik aufgebaut, das sowohl die herrschende traditionelle Logik als auch die von der Mathematik ausgehende Algebra der Logik von George Boole an Präzision, Leistungsfähigkeit und Vollständigkeit entschieden übertraf. Boole hatte mit aus der Arithmetik entlehnten Ausdrucksmitteln eine Klassenalgebra aufgebaut, mit der logische Begriffsverhältnisse ausdrückbar sind, die lediglich auf die Beziehungen zwischen Eigenschaften anwendbar sind, wie sie z.B. in der klassischen Syllogistik des Aristoteles auftreten. Frege dagegen überwand diese Beschränkung und lieferte in Form des heute sogenannten Prädikatenkalküls erster Stufe mit Identität ein logisches System, das zum adäquaten Ausdruck logischer Begriffsverhältnisse geeignet ist.
Wesentliche Voraussetzung des Fregeschen Erfolgs beim Aufbau der neuen Logik war die Überwindung der aus der traditionellen Logik überlieferten Behandlung der Logik in Analogie zur Grammatik: Nicht mehr die grammatische Gliederung der Urteile in Subjekt und Prädikat ist bei Frege und im Anschluß an ihn in der modernen Logik Basis der logischen Analyse, sondern als logische Grundbestandteile der Urteile werden Argument und Funktion herausgehoben. Frege wird damit zum Begründer der funktionalen Begriffsanalyse, in der Begriffe als spezielle Funktionen erfaßt werden, die mit entsprechenden Argumenten Aussagen bilden und, dem klassischen logischen Zweiwertigkeitsprinzip entsprechend, als Funktionswerte genau einen der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch besitzen. In den Wahrheitswerten erkennt Frege die wichtigsten Gegenstände der Logik, bezüglich derer auch bestimmt werden muß, was es heißt, etwas folge logisch aus etwas anderem.

Der Gegenstand der Logik sind nach Frege die als Folgerungsgesetze verstandenen Gesetze des Wahrseins:

Wie das Wort 'schön' der Ästhetik und 'gut' der Ethik, so weist 'wahr' der Logik die Richtung. Zwar haben alle Wissenschaften Wahrheit zum Ziel; aber die Logik beschäftigt sich noch in ganz anderer Weise mit ihr. Sie verhält sich zur Wahrheit etwa so wie die Physik zur Schwere oder zur Wärme. Wahrheiten zu entdecken ist die Aufgabe aller Wissenschaften: der Logik kommt es zu, die Gesetze des Wahrseins zu erkennen.

Auf Basis der von der Logik zu entdeckenden Gesetze des Wahrseins soll es möglich werden, das Beweisen und Schlußfolgern auf eine feste logische Grundlage zu stellen, auf der es nicht mehr einem psychologisch bestimmten Gefühl überlassen bleibt, ob ein Beweis korrekt ist. Auf dieser logischen Grundlage, die von Frege bereits in der Begriffsschrift aufgebaut wird, kann in einer mechanischen Prozedur, die auch eine entsprechend konstruierte Maschine auszuführen in der Lage ist, entscheiden werden, ob ein logisch korrekter Beweis vorliegt oder nicht. Diese Maschinen, über die wir heute mit dem Computer verfügen, waren zu Freges Zeiten natürlich nur als vage Ideen vorhanden.

Die logische Grundlage für das Beweisen und Schlußfolgern wird von Frege in einer logischen Formelsprache dargestellt, die von ihm als Begriffsschrift bezeichnet wird. In der von Frege in der Begriffsschrift entwickelten Formelsprache gilt, daß

hier nur das in Betracht kommt, was auf die möglichen Folgerungen Einfluß hat. Alles, was für eine richtige Schlussfolge nöthig ist, wird voll ausgedrückt; was aber nicht nötig ist, wird meistens auch nicht angedeutet, nichts wird dem Errathen überlassen.

Frege ist sich bewußt, daß die diesem Ziel entsprechende Formelsprache, seine Begriffsschrift, nicht die natürliche Sprache ersetzen kann, sondern lediglich bestimmte Aufgaben erfüllt, die von der natürlichen Sprache allerdings nicht zu erfüllen sind. Er beschreibt das Verhältnis seiner Begriffsschrift zur natürlich gegebenen Sprache in einem Bild, das so recht zu seiner Verwurzelung in Jena und seinen engen Beziehungen zu Ernst Abbe paßt:

Das Verhältnis meiner Begriffsschrift zu der Sprache des Lebens glaube ich am deutlichsten machen zu können, wenn ich es mit dem des Mikroskops zum Auge vergleiche. Das Letztere hat durch den Umfang seiner Anwendbarkeit, durch die Beweglichkeit, mit der es sich den verschiedensten Umständen anzuschmiegen weiss, eine große Ueberlegenheit vor dem Mikroskop. Als optischer Apparat betrachtet, zeigt es freilich viele Unvollkommenheiten, die nur in Folge seiner innigen Verbindung mit dem geistigen Leben gewöhnlich unbeachtet bleiben. Sobald aber wissenschaftliche Zwecke grosse Anforderungen an die Schärfe der Unterscheidung stellen, zeigt sich das Auge als ungenügend. Das Mikroskop hingegen ist gerade solchen Zwecken auf das vollkommenste angepasst, aber eben dadurch für alle andern unbrauchbar.



Zur Aufnahme von
Freges Werk


Im Vorwort zum ersten Band der Grundgesetze von 1893 lokalisiert Frege den Grundfehler der psychologistischen Logiker in der Verkennung des für die Logik grundlegenden Unterschieds zwischen der Wahrheit und dem Fürwahrgehaltenwerden.

Die logischen Gesetze sind Gesetze des Wahrseins, nicht solche des Fürwahrgehaltenwerdens: Wahrsein ist etwas anderes als das Fürwahrgehaltenwerden, sei es von Einem, sei, sei es von Vielen, sei es von allen, und ist in keiner Weise darauf zurückzuführen. Es ist kein Widerspruch, dass etwas wahr ist, was von Allen für falsch gehalten wird. Ich verstehe unter logischen Gesetzen nicht psychologische Gesetze des Fürwahrhaltens, sondern Gesetze des Wahrseins. Wenn es wahr ist, dass ich dies am 13. Juli 1893 in meiner Stube schreibe, während draussen der Wind heult, so bleibt es wahr, auch wenn alle Menschen es später für falsch halten sollten. Wenn so das Wahrsein unabhängig davon ist, dass es von irgendeinem anerkannt wird, so sind auch die Gesetze des Wahrseins nicht psychologische Gesetze, sondern Grenzsteine in einem ewigen Grunde befestigt, von unserm Denken überfluthbar zwar, doch nicht verrückbar.

Gottlob Frege hat mit seinem Werk ein bewundernswürdiges Werkzeug zum Bestimmen dieser logischen Grenzsteine geschaffen. Leider hat dieses Werkzeug erst sehr spät die verdiente Aufnahme und Anerkennung gefunden. Es bewahrheitete sich gerade nicht, was Frege noch im Vorwort der Begriffsschrift im Interesse des wissenschaftlichen Fortschritts wünschte: "Ich hoffe, dass die Logiker, wenn sie sich durch den ersten Eindruck des Fremdartigen nicht zurückschrecken lassen, den Neuerungen, zu denen ich durch eine der Sache selbst innewohnende Nothwendigkeit getrieben wurde, ihre Zustimmung nicht verweigern werden." Hier hat Abbe Recht behalten, der in seinem Berufungsgutachten 1879 zur Begriffsschrift schrieb: "Sie [die Begriffsschrift] wird vermuthlich nur von Wenigen gründlich gelesen und von noch Wenigeren verstanden und gewürdigt werden."

Der von Frege mit der Tradition vollzogene Bruch war offensichtlich zu stark, als daß sein Werk von den Vertretern dieser Tradition vorurteilsfrei hätte aufgenommen werden können. Frege selbst hat unter der kühlen Aufnahme und dem Unverständnis für seine Logik tief gelitten. Im ersten Band der Grundgesetze der Arithmetik macht er dies deutlich, wenn er als einen Grund für das späte Vollenden dieses Bandes aufführt:

Die Mutlosigkeit, die mich zeitweilig überkam angesichts der kühlen Aufnahme, oder besser gesagt, des Mangels an Aufnahme meiner oben genannten Schriften [Begriffsschrift, Grundlagen der Arithmetik] bei den Mathematikern und der Ungunst der wissenschaftlichen Strömungen, gegen die mein Buch zu kämpfen haben wird. Schon der erste Eindruck muß abschrecken: unbekannte Zeichen, seitenlang nur fremdartige Formeln. So habe ich mich denn zu Zeiten andern Gegenständen zugewendet. Aber auf die Dauer konnte ich doch die Ergebnisse meines Denkens, die mir wertvoll schienen, nicht in meinem Pulte verschließen ...

Frege hat hier sicher die wichtigsten Ursachen dafür genannt, warum seine Leistungen erst spät verstanden und anerkannt wurden. Die zögerliche Aufnahme der Fregeschen Ideen hatte sicher mit der Neuheit und Kompliziertheit der inhaltlichen Substanz von Freges Werk zu tun, die selbst ein so genialer und dem gesamten Unternehmen positiv gesinnter Kopf wie Bertrand Russell nur schwer erfassen konnte. Russell schreibt in seiner Autobiographie, die Begriffsschrift Freges habe ihm ein Gefühl dessen vermittelt, wonach er selbst strebte, daß er dieses Buch aber bereits Jahre besaß, ehe er verstand, was es bedeutete: "Indeed, I did not understand it until I had myself independently discovered most of what it contained."

Die verdiente positive Aufnahme durch die etablierte Logik fand Freges Werk erst nach 1902 durch die Vermittlung Bertrand Russells, der die logischen Errungenschaften und das neue Herangehen Freges an die Logik außerordentlich schätzte und trotz der Schwierigkeiten beim Erfassen der Fregeschen Ideen, Frege doch zugestand, die entscheidenden Voraussetzungen für die moderne Logik geschaffen zu haben. Im Vorwort zu ihrem epochalen Werk Principia Mathematica (1910), von dem die moderne mathematische Logik des 20. Jahrhunderts ihren unmittelbaren Ausgang nimmt, schreiben Whitehead/Russell, sie verdankten die tragenden logischen Gedanken ihres Systems Gottlob Frege:

In allen logisch-analytischen Fragen verdanken wir das meiste Frege. Wo wir von ihm abweichen, geschieht es meist, weil Widersprüche zeigten, daß er - wie übrigens alle alten und modernen Logiker - einen Irrtum in seine Voraussetzungen sich hatte einschleichen lassen; ohne die Widersprüche aber wäre es unmöglich gewesen, diesen Irrtum aufzudecken.

Eine außerordentlich wichtige Rolle spielte Gottlob Frege in der Entwicklung der logisch-philosophischen Ideen Ludwig Wittgensteins (1889-1951), der Frege zwischen 1911 und 1913 dreimal in Jena besuchte, mit Frege im Briefwechsel stand und dessen Tractatus logico philosophicus, ein klassisches Grundwerk der modernen Philosophie des 20. Jahrhunderts, ohne den Bezug auf Freges Werk undenkbar ist. Und obwohl sich dieses Werk auch kritisch mit Fregeschen Ideen auseinandersetzt, unterstreicht Wittgenstein im Vorwort zum Tractatus: "Nur das will ich erwähnen, daß ich den großartigen Werken Freges und den Arbeiten meines Freundes Herrn Bertrand Russell einen großen Teil der Anregungen zu meinen Gedanken schulde." Es ist sicher nicht übertrieben, in Gottlob Frege den Stammvater der modernen analytischen Philosophie zu sehen, die ursprünglich in den angelsächsischen Ländern ihre umfassende Verbreitung fand.

Die Aufnahme Freges in der deutschen akademischen Gesellschaft war dagegen bis nach dem zweiten Weltkrieg eher schwach. Frege kam erst über das Ausland wieder nach Deutschland zurück. So unterstreicht Jan Lukasiewicz 1934 in seiner Arbeit Zur Geschichte der Aussagenlogik: "Drittens lege ich Wert darauf festzustellen, was selbst in Deutschland nicht allgemein bekannt zu sein scheint, daß der Begründer der modernen Aussagenlogik Gottlob Frege ist."

Auch Rudolf Carnap hebt aus seiner Jenaer Erfahrung zwischen 1910 und 1914 die schlechte Aufnahme Freges in Deutschland hervor: "Gottlob Frege war damals in Jena nur außerordentlicher Professor der Mathematik, obwohl er schon über sechzig war; sein Werk war in Deutschland praktisch unbekannt; weder Mathematiker noch Philosophen schenkten ihm irgendwelche Aufmerksamkeit. Frege war offensichtlich tief enttäuscht und zeitweise verbittert über dieses Totschweigen. Kein Verlag war bereit, sein Hauptwerk, die beiden Bände Grundgesetze der Arithmetik, herauszubringen; er ließ sie auf eigene Kosten drucken." Rudolf Carnap selbst hat wesentlichen Anteil an der Verbreitung der Fregeschen Logik und von dessen Ideen zur logischen Semantik gehabt, der Bedeutung für seine eigene intellektuelle Entwicklung Carnap mit den Worten beschreibt:

Aber die stärkste Anregung an der Universität erhielt ich nicht durch Vorlesungen in den Fächern Philosophie und Mathematik, sondern durch Freges Vorlesungen über die Grenzbereiche zwischen diesen Gebieten, nämlich symbolische Logik und Grundlagen der Mathematik.

Obwohl Gottlob Freges zu seinen Lebzeiten bei weitem nicht die ihm gebührende Anerkennung erfahren hat, so war er doch vom wissenschaftlichen Wert seiner Arbeiten fest überzeugt. Geradezu prophetisch mutet es an, wenn er mit der Erfahrung der ihm zuteil gewordenen Mißachtung durch die wissenschaftliche Öffentlichkeit in seinem Todesjahr 1925 an seinen Adoptivsohn Alfred schreibt:

Verachte die von mir geschriebenen Handschriften nicht. Wenn auch nicht alles Gold ist, so ist doch Gold darin. Ich glaube, dass manches noch einmal weit höher geschätzt wird, als jetzt. Siehe zu, dass nichts davon verloren geht.

Die Genialität des Fregeschen Werkes hat sich schließlich doch durchgesetzt und Gottlob Freges wurde im Resultat seines in Jena geschaffenen Werkes zu einem Wegbereiter auf vielfältigen Gebieten der Wissenschaftsentwicklung des 20. Jahrhunderts, die über das Gebiet der von ihm begründeten modernen Logik weit hinausgehen. Wesentliche Entwicklungen auf dem Gebiet der modernen Linguistik und Sprachphilosophie und der in der analytischen Traditionslinie stehenden Philosophie, für deren Herausbildung und Entwicklung Freges Arbeiten auch heute noch unverzichtbare Quellen sind, Anregungen liefern und Maßstäbe für Begründungsstandards setzen, können ohne den Fregeschen Beitrag nicht adäquat erfaßt werden. Nicht zuletzt bildet die von Gottlob Frege begründete moderne Logik eine wesentliche theoretische Quelle für die Entwicklung der modernen Computertechnik und in der Informatik benutzter Verfahren zur Informationsverarbeitung.