аЯрЁБс;ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџ ўџџџ!"+$%&'()* ,ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџРF†sф­ЏžК€Book џџџџџџџџџџџџM4CompObjџџџџ^SummaryInformation(џџџџџџџџџџџџ#0ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџ џџџџРFMicrosoft Excel 5.0 WorksheetBiff5Excel.Sheet.5;ўџ ўџ р…ŸђљOhЋ‘+'Гйр…ŸђљOhЋ‘+'Гй0 PЈАИШаи№јGPџџџџн#0f% ‰  џџџ  Э[їПППППППППРРРРмРІЪ№€€€€€€€€€€€€€€џ€ `џџР рр`€џ€€€РРРџЯџiџџрџрнœГГю*oљ?ИЭH„6•ŒAŽ^B bzbOЌ/О(fvEE>j(…9jJ2… """)))000___UUUMMMBBB999 З™„™ДНН```( +9›%I;/]E:ISџ+џ!!lYQGj2ga1џaџS {Cg..т&YQFh.IRjИ#SџЃџjJu3lJAš7e Є,ƒБN,џ QЖd’oV YC­6rА3Ёw_‰GqАCЗ-}†•zn#&ŸsЉЪЌ[ Т”Rp$ЊL ”‰6n{DuџЈqџпџV‘J4HјЬ2‚фAphЪ6МBšџ–"З…}3%ЗŒ6Zэ\џџH"›ЂBЯMТXR г•Ѕ$рsVЕЉЉаo<gŸX‰Я  1/N dN = k dt& Integrate:!( INT 1/N dN = INT k dt* ln |N| = kt + C_1+ here N > 0, so ln N = kt + C_1. Therefore, ;/3 N = e^(kt + C_1) = e^(kt)e^(C_1)=e^(C_1)e^(kt)1Let N_0 = e^(C_1)3Thus, N = N_0 e^(kt)I3A ---- exponential growth is unbounded as t approaches infinity.‡4*******************************************************************************************************************************(6 Example of use of this equation:m8e Suppose in a city that the rate at which the population grows at any time is proportional to the 9 size of the population.g:_ If the population of a city was 125, 000 in 1950, and 140,000 in 1970, what is expected in;;31990 and in 2000 , assuming use of growth equation?$=Assume use of N = N_0 e^(kt)0?(Find values for the constants N_0 and k.з,ќ|EA%"#?m‹,q$k?(Aџ†(яBџ.ЇDџB(EџDЇFџ8Gџ~HџZ  Iџz JџЊKџЪ j MџЊ OџК Pџ* ъQџъ SџъTџк Z UџК Wџ …Xџт(ˆZџк \џ*ˆ]џ7ˆ^џ1_џLAD1950: ’ ЪсСПЄРт\ sandy Bфœ=hiј%М8X@"к1ШџArial1ШџМArial1ШџArial1ШџМArial1ШџArial"$"#,##0_);\("$"#,##0\)"$"#,##0_);[Red]\("$"#,##0\) "$"#,##0.00_);\("$"#,##0.00\)%""$"#,##0.00_);[Red]\("$"#,##0.00\)5*2_("$"* #,##0_);_("$"* \(#,##0\);_("$"* "-"_);_(@_),))_(* #,##0_);_(* \(#,##0\);_(* "-"_);_(@_)=,:_("$"* #,##0.00_);_("$"* \(#,##0.00\);_("$"* "-"??_);_(@_)4+1_(* #,##0.00_);_(* \(#,##0.00\);_(* "-"??_);_(@_)рѕџ Р рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР рѕџ єР р Р р+ѕџ јР р)ѕџ јР р,ѕџ јР р*ѕџ јР р ѕџ јР р !Р “€џ“€џ“€џ“€џ“€џ“€џ… Sheet1… Х%Sheet2… Н&Sheet3… Е'Sheet4… ­(Sheet5… Ѕ)Sheet6… *Sheet7… •+Sheet8… ,Sheet9……-Sheet10…}.Sheet11…u/Sheet12…m0Sheet13…e1Sheet14…]2Sheet15…U3Sheet16 ’ Ъ  Š`Џ нЮГ!Х#  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"Fntр?р?U Šџ†(яџ.ЇџB(џDЇџ8џ~ џZ   џz  џЊџЪ j џЊ џК џ* ъџъ џъџк Z џК џ …џт(ˆџк џ*ˆCurve Fitting--3NRE--545 S. Arlinghaus-%APPLICATIONS OF EXPONENTIAL FUNCTIONS( 1. Exponential growth and decayBasic definition- % Log_a y = x if and only if a^x=y  Assumption:\ T There are a number of natural quantities, ranging from population to amount of ]Uradioactivity, whose rate of growth or decay at any time is viewed to be proportional/'to the amount of that quantity present.H@Laws of exponential growth and decay follow from this assumption^V Suppose N is the size of a population at time t, and that N_0 is the starter set:  N = N_0 e^(kt)NFrepresents exponential growth when k>0 and exponential decay when k<0.ogTo see that in fact N_0 is the starter set, consider the equation when t=0--at the start. Then, N=N_0.‡*******************************************************************************************************************************h`The assumption above, when stated more formally, leads directly to the notational representationKC of the growth/decay formula. Consider the assumption restated as:um the rate of growth is equal to a constant of proportionality times the amount of the quantity at time t.?7Then, this latter statement is written symbolically as:з.;1,1`a3Lb$Rs‹lOy џ†(я"џ.Ї$џB(&џDЇ(џ8*џ~+џZ  ,џz .џЊ/џЪ j 1џЊ 3џК 4џ* ъ6џъ 8џъ9џк Z :џК ;џ …=џт(ˆ?џк A 9dN / dt = kN, where k is the constant of proportionality.="5Separate the variables of this differential equation:$t=0, the starting time. At the starting time, N_0 = 125,000.BThus, N = 125,000e^(kt)3D+In 1970, t=20. At this point, N=140,000. "ESo, 140,000=125,000e^(20k)F Solve for k:*G"e^(20k) = 140,000 / 125,000 = 1.12H Therefore,I20 k = ln (1.12)JThus, LKDk = 1/20 * ln (1.12) = 0.0056664, a growth rate of 0.567 % per year.BM:Now, obtain the general equation--we have found N_0 and k:&ON = 125,000 e^((t/20)ln(1.12))*P" = 125,000 [e^(ln(1.12))]^(t/20)!Q = 125,000(1.12)^(t/20)_SWSo, this general equation may now easily be used to forecast, based on previous values:0T(In 1990, t = 40, so the equation yields:)U!N=125,000(1.12)^(40/20) = 156,8000W(In 2000, t = 50, so the equation yields:*X"N=125,000(1.12)^(50/20) = 165,942.$Z2. Population Doubling TimeG\?Use the growth equation to understand population doubling time.S]KIn the context of the example above, when will the 1950 population double??^ Symbolically:g__ 2N_0 = N_0 e^(kt) when will the total pop. on the left be twice the starter set (N=2N_0)?з4СЬP#7&.PF*.%c4-4.(KWaџ†(яbџ.ЇcџB(dџDЇeџ8fџ~gџZ  hџz iџЊjџЪ j kџЊ mџК nџ* ъpџъ qџъsџк Z uџК vџ …wџт(ˆyџк {џ*ˆ|џ7ˆ}џ1~џџњЉa Solve for t:"b 2N_0 = N_0e^(Kt)c 2=e^(kt)"d ln 2 = ln e^(kt)e ln 2 = ktf therefore,*g" t=(ln 2)/k = 0.6931472/kXhPMultiply numerator and denominator by 100--the denominator is % growth per year.YiQThe numerator is about 70. Sometimes this rule is referred to as the rule of 72.RjJTo use the rule, divide the %growth rate into 70 to get the doubling time.Ek=Consider the unique prime factorization of each of 70 and 72:m 70=10*7=2*5*7n72=8*9=2*2*2*3*3Bp:Because 72 has many more integral divisors than does 70,Dq<it is easier to work with in doing arithmetic in one's head.0s(This is the rule of 70 cited in Meadows.buZExample: Suppose a population is growing at a rate of 10% per year. When will it double? v +w#It will double after 70/10=7 years.?y7What is the corresponding rule for population tripling?{ Solve for t:| 3N_0 = N_0e^(kt)} 3 = e^(kt)~ ln 3 = kt( t = (ln 3)/k = 1.0986123/k.з6­р&&.\]VIFH4f/C!€џ†(я‚џ.Ї„џB(…џDЇ‡џ8‰џ~0€(the corresponding rule is a rule of 110.D‚<Thus, for example, a 10% per year rate of population growth 6„. doubles the population in 70/10 = 7 years:…2 triples the population in 110/10 = 11 years.K‡CWhat is the corresponding rule for an n-fold population increase???‰Answer: (ln n)/kзиd4H:>O> ЖVUUU”Уш?ш?№?№?mqq     џ ’ Ъ  „&  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"Dр?р?U > Ж ’ Ъ  |'  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  t(  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  l)  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  d*  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  \+  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  T,  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  L-  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  D.  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ   Ж ’ Ъ  40  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  ,1  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  $2  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  3  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж ’ Ъ  4  dќЉёвMbP?_*+‚€%џŒС&APage &Pƒ„Ё"р?р?U > Ж аЯрЁБс;ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџyˆ7 2 ‰ Š™8 2 š ›Њ92 ЋЌЛ102 МНЬ11 2 6ZA 2 v\šB 2 ЖœкC 2 імD 2 7ZEћМ"System-'џџ-РРР Э[ћѓџArialG- ќџџџџџ-  џџџџџџ  !№Y !№[ 2 Curve Fitting--3 2 #NRE--545  џџџ !№4Y !№4[ 2 4 S. Arlinghaus   џџџ !№VY !№V[ !№V™ !№V› !№Vй !№Vл !№V !№V ?2 V%APPLICATIONS OF EXPONENTIAL FUNCTIONS          џџџ !№xY !№x[ !№x™ !№x› !№xй !№xл 72 x 1. Exponential growth and decay   џџџ !№šY !№š[ 2 šBasic definition  џџџ !№МY !№М[ !№М™ !№М› !№Мй !ўџ р…ŸђљOhЋ‘+'Гйр…ŸђљOhЋ‘+'Гй0 PЈАИШаи№јGPџџџџн#0f% ‰  џџџ  Э[їПППППППППРРРРмРІЪ№€€€€€€€€€€€€€€џ€ `џџР рр`€џ€€€РРРџЯџiџџрџрнœГГю*oљ?ИЭH„6•ŒAŽ^B bzbOЌ/О(fvEE>j(…9jJ2… """)))000___UUUMMMBBB999 З™„™ДНН```( +9›%I;/]E:ISџ+џ!!lYQGj2ga1џaџS {Cg..т&YQFh.IRjИ#SџЃџjJu3lJAš7e Є,ƒБN,џ QЖd’oV YC­6rА3Ёw_‰GqАCЗ-}†•zn#&ŸsЉЪЌ[ Т”Rp$ЊL ”‰6n{DuџЈqџпџV‘J4HјЬ2‚фAphЪ6МBšџ–"З…}3%ЗŒ6Zэ\џџH"›ЂBЯMТXR г•Ѕ$рsVЕЉЉаo<gŸX‰Я џЌЇ.ўтYLмgџџ:}џБаЧџџтпš=VŸЦCКЏq‹8ЂЩбSЮџšeFЪлџMџШщjLорџ˜џпР‚щьЅѕіЭџаџБЌZc‘Ў"LeN?Pppаџџџчџiiiwww†††–––ЄЄЄВВВЫЫЫзззнннуууъъъёёёјјјВСf€ПxЦ№№ВЄџџГџбŽЃУм7 žTvЎpxžСƒdПЄƒгб?2џ}Dx#$_`,Оџ19й…>w…АиV!0ˆШГ yРРРъpQёiџџ€‘tЭџ|џЂџџџћ№  Є€€€џџџџџџџџџџџџ45'џџ џџџ 'џџџџџ Э[ќ- њ-Эњ- !№Э-""- !№"-33- !№3-DD- !№D-UU- !№U-ff- !№f-ww- !№w-ˆˆ- !№ˆ-™™- !№™-ЊЊ- !№Њ-ЛЛ- !№Л-ЬЬ- !№Ь-[- !№[-ZZ- !№Z-šš- !№š-кк- !№к-- !№-ZZ- !№Zќџџџ-'џџ- Э[ќРРРРР- РРРРРР №њРРР-""[- !№@"-33[- !№@3-DD[- !№@D-UU[- !№@U-ff[- !№@f-ww[- !№@w-ˆˆ[- !№@ˆ-™™[- !№@™-ЊЊ[- !№@Њ-ЛЛ[- !№@Л-ЬЬ[- !№@Ь-ZЭZ- !№ЛZ-šЭš- !№Лš-кЭк- !№Лк-Э- !№Л-ZЭZ- !№ЛZ-'џџ-РРР РРРЭ[ћѓџМArial#H-   2  ќ€€€- €€€џџџ№њ€€€-- !№-- !№-- !№-- !№-- РРР 2  "1 2 # $32 2 4 5D3 2 E FU4 2 V Wf5 2 g hw6 2 x №Мл ?2 М% Log_a y = x if and only if a^x=y-№ -'џџ- џџџ Э[ќџџ-  №њ-[- !№[-Э- !№Э-'џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџsandyhMicrosoft ExcelфаЯрЁБс;ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ